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2014
06

最小势能原理与虚功原理[zz]

最小势能原理

最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时,系统会处于稳定平衡状态。 势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物,如果其势能未达到“最小”(局部概念),它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。

最小势能原理的最主要用途是:弹性力学问题近似解法(Rayleigh-Ritz法,Galerkin法,有限元法等)的基础。

最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题:真实位移状态使结构的势能取驻值(一阶变分为零),在线弹性问题中取最小值。在有限元的理论中,最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时,满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。

最小势能原理: 对于保守力系统,在所有许可位移场中,对应于平衡状态的位移场使得总势能取极值,如果极值条件为最小值,则对应得平衡状态是稳定的。

许可位移:满足位移单值相容条件喝位移边界条件的位移,当采用位移作为未知量时,其相容条件是自动满足的。

势能驻值原理: 在弹性体系的所有几何可能位移状态中,其真实的位移状态使总势能为驻值(可能极大、极小或者始终保持不变)。

势能驻值条件等价于平衡条件,但是,其平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种,要判别平衡状态究竟属于哪一种,就必须对总势能作进一步的研究(从严 格的数学意义上说,也即是如果要研究结构变形状态是否稳定,不仅必须满足总势能的一阶变分为零,即总势能驻值的条件,而且还必须进一步考察总势能的二阶变 分情况)。

虚功原理

功包括力和位移两个基本量。如果力或者应力在其自身引起的真实位移或者应变上作功,这种功称为实功;如果力或者应力在其他某种原因引起的微小位移或者应变上作功,这种功称为虚功

虚功原理:如果弹性体是处于静力平衡状态的,外力在虚位移上所做的虚功,等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功,即虚应变能。

虚位移和几何可能的位移是有关系的。虚位移指的是弹性体的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。

所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关,而可能由于其它原因(如温度变化,或其它外力系,或是其它干扰)造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移,即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小,亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。

真实力在虚位移上做的功称为虚功


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